công thức moa vrơ

Căn bậc n số phức r cos i sin n r n (cosn i sin n ) I Công thức Moa-vrơ: II Căn bậc n số phức - Tương định nghĩa bậc hai số phức z , ta gọi số phức z cho z w bậc n số phức w (n số nguyên cho trước, n>1) - Rõ ràng có bậc n w - Khi w , ta viết w dạng lượng giác w R(cos i sin ), R Ta cần tìm z r (cos i sin ), (r 0) n cho z w n - Theo Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \(\left(1+i\right)^{19}\) và công thức Moa-vrơ để tính \(C^0_{19}-C^2_{19}+C^4_{19}-..+C^{16}_{19}\) Công thức hình học Giải tích 12. 2 trang | Lượt xem: 479 | Lượt tải: 0. Giáo án Giải tích 12 NC tiết 80: Luyện tập dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. 3 trang | Lượt xem: 723 | Lượt tải: 0. Giáo án dạy bồi dưỡng môn Toán lớp 12 trường THPT nông cống Phương pháp giải - Xem chi tiết Công thức Moa-vrơ: z = r(cosφ+sinφ) ⇒ zn = rn(cosnφ +isinnφ) z = r ( cos φ + sin φ) ⇒ z n = r n ( cos n φ + i sin n φ) Lời giải chi tiết Ta có: cos4φ +isin4φ = (cosφ +isinφ)4 cos 4 φ + i sin 4 φ = ( cos φ + i sin φ) 4 Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc n của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết. Xem thêm: + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phức Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Site De Rencontre À Abidjan Côte D Ivoire. Ta có \\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right^4}\ \\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left {{{\cos }^3}\varphi } \right\left {i\sin \varphi } \right \cr &+ 6\left {{{\cos }^2}\varphi } \right\left {{i^2}} \right{\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left {\cos \varphi } \right\left {{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left {4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \righti. \cr} \ Từ đó \\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \ \\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \ Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát... Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết. Xem thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phức Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$ 2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$ Nguồn I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức- Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức- Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác- Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó+ Về kĩ năng - Biết tìm acgumen của số phức- Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức- Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác- Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ- Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức- Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn- Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập Bạn đang xem tài liệu "Giáo án Tiết 79-80 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênNgày soạn 07/04/2009 Tiết 79-80 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập II/ Chuẩn bị + Giáo viên Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức. + Học sinh Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết. Chuẩn bị MTCT III/ Phương pháp Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV/ Tiến trình 1/ Ổn định tổ chức Kiểm danh , kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ 5 phút Câu hỏi Giải phương trình bậc 2 sau trên C z2 + 2z + 5 = 0 1 Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi. 1 z + 12 = - 4 . Vậy z = - 1 2i Cho 1 học sinh nhận xét. Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm. 3/Bài mới Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng T1 HĐ1 Số phức dưới dạng lương giác 15’ HĐ1 Acgumen của số phức z0 - Nêu định nghĩa 1 H1? Số phức z0 có bao nhiêu acgumen ? Quan sát hình vẽ ở bảng phụ. Tiếp thu định nghĩa. 1/Một học sinh quan sát trên hình vẽ nhận xét trả lời. là 1acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng + k2. 1/ Số phức dưới dạng lượng giác a/ Acgumen của số phức z0 ĐN 1 Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mp phức biểu diễn số phức z. Số đo rad của mỗi góc lượng giác tia đầu 0x,tia cuối 0M được gọi là một acgumen của z Nêu VD1SGK a/ Tìm acgumen của số thực dương tùy ý. b/ Tìm acgumen của số thực âm tùy ý. c/ Tìm acgumen của số 3i, -2i, 1 + i. Dùng hình vẽ minh họa và giải thích. HĐ2 Cho HS giải Biết số phức z 0 có 1acgumen ; Hãy tìm 1 acgumen của mỗi số phức sau ;. Gợi ý Dùng biểu diễn hình học của số phức để tìm acgumen của nó. 1 HS trả lời a/ Một acgumen là = 0 b/ Một acgumen là = 1 học sinh trả lời c/ . Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời HS 1 z biểu diễn bởi thì –z bởi -nên có acgumen là HS 2 - có - có cùng acgumen với Chú ý SGK Tóm tắt lời giải VD1 Tóm tắt lời giải của HĐ2 20’ HĐ2 Dạng lượng giác của số phức . HĐ1 Từ hình vẽ giáo viên dẫn dắt đến định nghĩa 2 H? Để tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi khác 0 ta cần làm những bước nào? Nêu VĐ2 SGK Cho cả lớp giải sau đó gọi từng HS trả lời. Gợi ý Tìm r,. Nêu chú ý SGK Nêu VĐ3 SGK Hướng dẫn đọc VĐ3 HS tiếp thu ĐN2 HS trả lời a/ Tìm r , r = 2/ Tìm thỏa 1 HS đứng tại chỗ giải số 2 2cos 0 + i sin 0 số -2 2 số i số 1 + i số 1 - 2 b/ Dạng lượng giác của số phức z = rcos, trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z dạng z = a + bia,bR được gọi là dạng đại số của số phức z Tóm tắt các bước tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi 1/ Tìm r 2/ Tìm Tóm tắt lời giải VD2 HĐ2 Cho z = rcos +isin r > 0. Tìm môđun và acgumen của từ đó suy ra dạng lượng giác của Cả lớp giải theo nhóm. 1 nhóm đại diện trình bày Tóm tắt lời giải hoạt động 2. 5’ HĐ3 Củng cố T1 H1 acgumen của số phức H2 Dạng LG của z H3 Nêu các bước biễu diễn số phức z = a + bi Vậy = gọi 3 HS trả lời TI ẾT 2 T2 HĐ 3 Nhân và chia số phức dưới dạng LG 15’ Từ HĐ2 ĐL hướng dẫn HS c/m ĐL tìm = ? HĐ2 Nêu vd4 Tìm H? Thực hiện phép chia này dưới dạng đại số HS tiếp thu ĐL 1HS đúng tại chỗ giải 1+i = + i = 2 = 2/ Nhân và chia số phức dưới dạng LG ĐL sgk Tóm tắt lời giải vd4 15’ HĐ4 Công thức Moa-vrơ và ứng dụng HĐ1 Nêu công thức Moa- vrơ HĐ2 Nêu vd5 Tính 1+i5 HD giải HĐ3 Nêu ứng dụng H1 khai triển cos + i sin3 H2 công thức Moa -vrơ H3 từ đó suy ra , HĐ4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Tính căn bậc hai của Z = rcos + i sin với r > 0 HS tiếp thu công thức 1HS giải 1+i5 = 5 = 5 =4- = - 4 1 + i HS1 Trả lời HS2 Trả lời HS3 Đi đến KL 1 HS trả lời Và - = 3/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng a/Công thức Moa- vrơSGK rcosn= rncosn+isinn Xét khi r = 1 b/ứng dụng và lời giải c/Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 5’ HĐ5 củng cố T2 + Nêu các phép toán nhân chia của số phức dưới dạng LG + Nêu CT Moa – vrơ + Tính + i 6 1 HS tính = [2cos ]6 =26cos+ isin = - 26 4 Củng cố toàn bài 10’ cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ - Đại diện từng nhóm trả lời Câu 1 Tìm acgumen của số phức z = 1 + i KQ 1 acgumen là = Câu 2 Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i KQ z = Câu 3 tính 1 - i 1+i KQ Câu 4 Tính KQ - 5 Hướng dẫn Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số phức . Đọc chú ý trang 206/ SGK Bài tập về nhà 32 đến 36 trang 207 Phụ lục Bảng phụ cho hình vẽ , , , sgk Tài liệu đính kèmTIET 79-80 dang lg so phuc va ung Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức moa-vre moivre để tính căn bậc hai $n$ của một số phức, thông qua quá trình xây dựng công thức tổng quát và các ví dụ minh họa kèm theo. Miêu tả cụ thể. Xem thêm + Viết số phức dưới dạng hàm lượng giác + Tìm căn bậc hai của số phức Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của một số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa mãn ${w ^2} = z$. + căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $ r > 0.$ Đặt $w = rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ và $r >; 0$ Sau đó ${{\rm {w}} ^2} = z$ ⇔ ${r^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{ os}} varphi + i \sin \varphi $ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{ array}{l} r = \sqrt r \ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in z \end{array} \right .$ Từ đây Complex $z = r c{ rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ và căn bậc hai là ${{\rm {w} }_1} = \sqrt r left {c{ rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{ 2}} \right$ và ${{ \rm{w}} _2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{ varphi } {2} + \pi } right + i \ sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right $ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{ os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right .$ 2. Tính căn bậc hai của một số phức $n$Căn bậc hai $n$ của một số phức $z$ là một số phức $w$ sao cho ${w^n} = z$. trong đó $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ trong đó $r >; 0.$ set $w = r c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ và $r >; 0$ Sau đó ${{\rm{w}}^n} = z \leftrightarrow { r^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os} }\varphi + i \sin \varphi $ $ \leftrightarrow \left\{ \begin {array}{l} {r^n} = r\\ n\theta = varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \ leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt[n ]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac {{k2\pi }}{n}, k \in z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$, chúng ta có được căn bậc hai $n$ của $n $ $z$ là ${w_1} = \sqrt[n ]{r }\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2} $ = $ \sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac { \varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n }} right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + frac{{2\pi }}{n}} \right} \ phải. $ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos left {\frac{\varphi }{n} + \frac{ {2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1 }}{n}} \right.$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau và viết chúng dưới dạng hàm lượng giác ${\rm {w}} = \frac {1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i \sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > ; 0$ là căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2 varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \leftrightarrow \left\ { begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in z \end{array} right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\ pi , k \in z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i \ sin frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7 pi } { 6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} } \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3} } \right.$ suy ra rằng $w$ có mô đun $r = 2$ và lũy tích $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ nên căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với modulo $r = \sqrt[3]{2}$ và acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{ k2 pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in z.$ Lấy $k = 0 , 1,2$ Khi đó $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \ frac { {2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\ varphi _3 } = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $ w = – 1 + i\sqrt 3 $ có căn bậc hai là $3$ ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2 pi }}{ 9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left { \cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \ sqrt[3 ]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc hai của các số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ môđun $r = 1$ và An bộ tích lũy $\theta = \frac{\pi }{2}.$ suy ra rằng căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với modulo $r = 1$ và một bộ tích lũy $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi } }{2},k \in z.$ Lấy $k = ta được giá trị $4$ $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{ pi } {8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi } }{ 8 }$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\ varphi _4 } = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$ 3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Bạn đang xem nội dung Toán 10 - Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn hãy click vào nút TẢI VỀDẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. Mục tiêu Kiến thức - Nắm được công thức Moa-vrơ. - Ứng dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác và một số lĩnh vực khác. Kỹ năng - Biết cách vận dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác, tính luỹ thừa số phức, tính căn bậc hai.. Tư duy thái độ - Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác. - Rèn luyện tính toán, tư duy logic, tinh thần ham học hỏi, sáng tạo, chính xác. 2. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh - Dụng cụ học tập, tài liệu học tập. - Một số bài tập ứng dụng - Phương pháp dạy học truyền thống thuyết trình, trực quan kết hợp gợi mở vấn đề. 3. Tiến trình bài học Nội dung Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức. Hoạt động 5 Củng cố bài học. Bài giảng chi tiết Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu đề bài. - Làm bài, nhận xét bài bạn. - Lời giải Bài 1 z2 = zz = 3cos + i sin.3cos + i sin = 9cos + + i sin + = 9cos2 + i sin2 z3 = z z z = z2 z = 9cos2 + i sin 23cos2 + i sin = 27cos3 + i sin3 = 27cos + i sin Bài 2 W2 = rcos + i sin. rcos + i sin = r2 cos2 + i sin2. - Đưa ra bài tập, gọi Học sinh lên bảng. Yêu cầu học sinh khác làm Bài 1 Cho z = 3cos + i sin. Tính z2, z3. Bài 2 Cho w = rcos + i sin. Tính w2. - Nhận xét bài làm của Học sinh. - Đưa ra gợi ý nếu cần Luỹ thừa thực chất là phép nhân các thừa số giống nhau, như vậy nên sử dụng công thức nào? Hoạt động 2 Công thức Moa-vrơ Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên - Lắng nghe, hiểu nhiệm vụ, làm bài. w3 = w2 w = r2cos2 + i sin2rcos + i sin = r3cos3 + i sin3. w4 = w3 w = r3cos3 + i sin3rcos + i sin = r4cos4 + i sin4. - Modun của w2, w3, w4 lần lượt là luỹ thừa 2, 3, 4 của w. Argument của w2, w3, w4 lần lượt gấp 2, 3, 4 lần argument của w. Ghi nho CT wn = rncosn + i sinn 1 - Với n = 2 ta có W2 = r2 cos2 + i sin2. Lời giải 1+i = + = cos + i sin Áp dụng công thức Moa-vrơ 1+i = [cos + i sin]5 = 5cos5 + i sin 5 Vậy 1+i =5cos5 + isin5 Tiếp tục yêu cầu học sinh tính w3, w4. - Yêu cầu Học sinh so sánh modun, argument của w2, w3, w4 với w? - Liệu rằng chung ta co the tinh duoc Wn Khẳng đinh Bằng quy nạp người ta đã chứng minh được rằng công thức 1 là đúng. voi n = 2 ,3,4 ta da o tren Kết luận Công thức 1 được gọi là công thức Moa-vrơ. - Vận dụng công thức trên làm ví dụ sau VD Tính 1+i5 - Gợi ý Học sinh Muốn thực hiện công thức Moa-vrơ số phức phải có dạng nào? Vậy biểu diễn dạng lượng giác của số phức 1+i rồi tính kết quả. Kết luận Có thể tính luỹ thừa của một số phức bất kỳ dựa vào công thức Moa-vrơ. Hoạt động 3 Ứng dụng vào lượng giác Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Nhóm 1 cos + i sin3 = cos3 + 3cos2 isin +3 i2 sin2 cos + isin3 = cos3 - 3sin2 cos + i3cos2sin - sin3 = 4cos3 - 3cos + i3sin - 4sin3 Nhóm2 cos + i sin3 = cos3 + i sin3 - Học sinh so sánh và rút ra kết luận cos3 = 4cos3 - 3cos 3 sin3 = 3sin - 4sin3 3’ -Chia nhóm Nhóm 1khai triển ct - cos + i sin3 ? -Nhóm2 áp dụng ct moa-vrơ tính cos + i sin3 -yêu cầu nhóm 1 và nhóm 2 so sánh kết quả Khẳng đinh Đây là hai cách biểu diễn khác nhau của cùng một số phức nên chúng phải bằng nhau. - Vậy ta có thêm 1cách biêu diễn cos3, sin3 qua cos, sin. Kết luận Tương tự bằng cách đối chiếu công thức khai triển luỹ thừa bậc n của cos + i sinn với công thức Moa-vrơ có thể biểu diễn cos n, sinn theo các luỹ thừa của cos, sin. Hoạt động 4 Căn bậc hai của số phức Hoạt động của Học sinh Hoạt động của Giáo viên Liên hệ kiến thức cũ. Suy nghĩ và phán đoán kết quả. W2 = r2 cos2 + i sin2. z = rcos + i sin = [cos + i sin]2. - Vậy z có 2 căn bậc hai là cos + i sin; -[cos + i sin] hay [cos + + i sin+] Lời giải z = - i = cos7 + i sin7 Khi đó z có hai căn bậc hai là cos7 + i sin7 và - cos7 + i sin7. Lời giải a. z = cos + i sin = cos+ i sin 2 Vậy z có hai căn bậc hai là cos+ i sin; - cos+ i sin b. z = + Đặt cos a = ; sin a = . Khi đó ta có z = cos a + isin a = [cos + isin ]2 Vậy z có hai căn bậc hai là [cos + isin ] và -[cos + isin ] - Yêu cầu Học sinh nhắc lại thế nào là căn bậc hai của 1 sô? 1 số có mấy căn bậc 2. Đối với số phức thì sao? - Cho w= rcos + i sin, w=- rcos + i sin, r> 0 tinh W2 cho z= rcos + i sin, r>0; Áp dụng công thức Moa-vrơ biểu diễn z thành bình phương của một số. Kết luận Ta có thể tìm căn bậc hai của một số phức theo công thức trên. VD Tìm căn bậc 2 của z = 1 – i Hướng dẫn Học sinh Viết z dưới dạng lượng giác. Áp dụng công thức đã nêu trên. - Gọi Học sinh lên bảng làm nếu còn thời gian Bài 1 Tìm căn bậc 2 của z biết a. z = 1 b. z = 3 + 4i Hoạt động 5 Củng cố bài học Tổng kết - Nhắc lại công thức Moa-vrơ - Cách tính luỹ thừa của một số phức - Cách tìm căn bậc hai của một số phức - Ứng dụng của công thức Moa-vrơ vào lượng giác. Bài tập về nhà - Bài 32 đến 36 Sách Giáo khoa. Hướng dẫn Học sinh làm bài nếu còn thời gian.

công thức moa vrơ